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機械設(shè)計:什么是剛體?剛體模型與質(zhì)點模型的區(qū)別與聯(lián)系
本文來源:力學(xué)酒吧公眾號(ID:Mechanics-Bar),作者:張偉偉 太原科技大學(xué)。
什么是剛體?剛體模型與質(zhì)點模型兩者都是理想化模型。
剛體是指在運動中和受力作用后,形狀和大小不變,而且內(nèi)部各點的相對位置不變的物體。剛體模型和質(zhì)點模型的區(qū)別如下:
1、定義不同
剛體是指在運動中和受力作用后,形狀和大小不變,而且內(nèi)部各點的相對位置不變的物體;
質(zhì)點模型,是用一個具有同樣質(zhì)量,但沒有大小和形狀的點來代替實際物體,這是對實際物體的一種科學(xué)抽象。
2、類別不同
剛體模型是物體;質(zhì)點模型是一種抽象表達。
3、存在形式不同
絕對剛體實際上是不存在的,只是一種理想模型,因為任何物體在受力作用后,都或多或少地變形,如果變形的程度相對于物體本身幾何尺寸來說極為微小,在研究物體運動時變形就可以忽略不計;
質(zhì)點模型只是對實際物體的一種科學(xué)抽象,是不存在的。
4.質(zhì)點和剛體區(qū)別在它們的自由度上,點在空間只可能產(chǎn)生x,y,z三個方向的線位移,因此我們說質(zhì)點有3個自由度;而對于剛體除了x,y,z三個方向的線位移外,還可以產(chǎn)生繞x,y,z三個軸的轉(zhuǎn)動,也成為角位移,因此我們稱剛體有6個自由度。
舉例來說,研究人造衛(wèi)星的飛行軌跡,可以不考慮人造衛(wèi)星的形狀和大小,將衛(wèi)星簡化為質(zhì)點來處理,它的位置可以用經(jīng)度、維度和高度3個量來描述(即3個自由度)。假如在衛(wèi)星上安裝一臺照相機,要對地面、或太空進行拍照,那么衛(wèi)星的姿態(tài)就顯得比較重要了。此時僅用經(jīng)度、維度和高度3個量描述衛(wèi)星就不足以說明拍照對象和角度,除此3個量之外,還需要對衛(wèi)星進行姿態(tài)描述。
歐拉 (Leonhard Euler,1707-1783) 最早 (1760年) 用進動角、章動角和自轉(zhuǎn)角(合稱歐拉角)描述了剛體在三維歐氏族空間的繞定點運動??紤]下圖所示藍色坐標(biāo)系x,y,z為參考坐標(biāo)系,紅色坐標(biāo)系X,Y,Z是固定在剛體上,隨剛體一起運動,稱之為隨動坐標(biāo)系。因此,認為紅色坐標(biāo)系的運動就代表了剛體的運動。
請與下圖對應(yīng)著看
假如紅色坐標(biāo)系的初始狀態(tài)與參考坐標(biāo)系重合(可配合動圖理解),認為剛體運動可分解為三個步驟:
紅色坐標(biāo)系繞oz軸(與oZ軸重合)旋轉(zhuǎn)α 角度,稱為進動角,此時oX軸轉(zhuǎn)至oN位置處;
繞紅色坐標(biāo)系oN軸(即新的oX軸)旋轉(zhuǎn)β角度,稱為章動角,這樣oN垂直于zoZ平面的,稱oN為節(jié)線;
再繞新的oZ軸旋轉(zhuǎn)γ角度,稱為自轉(zhuǎn)角。如果通過節(jié)線可以比較清楚的定義三個角:
(1) 節(jié)線oN與參考坐標(biāo)系ox軸的夾角為進動角α;
(2) 隨動坐標(biāo)系oZ軸與參考坐標(biāo)系oz軸的夾角為章動角β;
(3) 隨動坐標(biāo)系oX軸與節(jié)線oN的夾角為自轉(zhuǎn)角γ。
進動角 (Precession)、章動角 (nutation)、自轉(zhuǎn)角 (intrinsic rotation) 是來自天文學(xué)的三個概念。我們以地球的運動來說明:例如地球繞自轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)(下圖中綠色R標(biāo)示),由此產(chǎn)生的角度就是自轉(zhuǎn)角;其次,由于地球在繞太陽公轉(zhuǎn)的同時還受到月球的吸引力,稱月球繞地球的旋轉(zhuǎn)平面為白道面,而地球繞太陽的旋轉(zhuǎn)為赤道面,由于赤道和白道之間有5o的差距,因此月球會對地球產(chǎn)生一個扭轉(zhuǎn)作用,致使地球在繞太陽公轉(zhuǎn)的方向上左右搖擺(下圖中紅色N標(biāo)示),像是向太陽點頭一般,由此產(chǎn)生的角度改變稱為章動角;最后地球在高速自轉(zhuǎn)時,當(dāng)外力產(chǎn)生的力矩矢與自轉(zhuǎn)軸不重合時就會產(chǎn)生進動,這種運動導(dǎo)致自轉(zhuǎn)角看起來像是在做圓錐擺動(下圖中藍色P標(biāo)示,陀螺運動中經(jīng)常會見到進動)。
這種運動就是進動
在航天器中,進動角α,章動角β 和自轉(zhuǎn)角γ 通常稱為描述剛體的姿態(tài)角,在有的資料中α,β,γ也用ψ,θ,φ來表示。對于飛行中的飛機,其姿態(tài)調(diào)整通常采用偏航 (yaw),仰角 (pitch) 和滾動 (roll) 來描述(如下圖所示),它們也是歐拉角的一種。值得一提的是歐拉角并不是唯一的,選擇不同旋轉(zhuǎn)軸和轉(zhuǎn)動順序,可以產(chǎn)生24種不同的廣義歐拉角。
偏航/yaw
仰俯/pitch
滾動/roll
在理論力學(xué)上,歐拉角被用來描述剛體定點運動,將剛體的任意運動分解為定點(質(zhì)心)的空間運動和剛體的定點運動合成,定點所代表的運動被稱為平動(物體上任何一點都具有和定點相同的運動),然后再利用歐拉角描述剛體的繞定點運動。
在剛體的學(xué)習(xí)中,很多質(zhì)點的結(jié)論可推廣應(yīng)用到剛體中。從靜力學(xué)角度考慮,一維情況下限制一個質(zhì)點的運動,只需要在該方向上施加約束(或力);在二維平面內(nèi),需要2個約束(或力);再到三維空間則需要3個約束(或力)。如果對于剛體,一維情況下不需要考慮剛體轉(zhuǎn)動,只有該方向上的運動,此時剛體與質(zhì)點情況一樣;在二維平面內(nèi),除2個方向上的約束外,還需要1個限制剛體旋轉(zhuǎn)的約束(或力偶);在三維空間內(nèi),就需要3個方向上的約束,加3個限制剛體旋轉(zhuǎn)的約束(或力偶)。如果把旋轉(zhuǎn)看作是一種廣義位移,力偶看作是廣義力,從建立控制方程上,剛體和質(zhì)點沒有本質(zhì)上的區(qū)別,只是方程數(shù)量增加,求解問題的復(fù)雜程度增加。
在這些結(jié)論在動力學(xué)中,也同樣適用。質(zhì)點的動力學(xué)方程用牛頓第二定律表示為:
這里i 為1、2、3對應(yīng)于x、y、z軸。對于剛體動力學(xué)問題,可分解為質(zhì)心的動力學(xué)方程加剛體定點運動的動力學(xué)方程,成為:
這里i 仍為1、2、3對應(yīng)于x、y、z軸,M 表示力偶,α 是角加速度,下標(biāo)i 表示繞某軸的力偶或角加速度。J 被稱為轉(zhuǎn)動慣量,表達式是
式中,r 表示微元體ρdm到轉(zhuǎn)動軸的距離。在質(zhì)點模型中,質(zhì)量m 是衡量物體慣性大小的量,質(zhì)量大,慣性就大,就更傾向于保持原運動狀態(tài)。
在剛體轉(zhuǎn)動中,轉(zhuǎn)動慣量J 就是衡量剛體發(fā)生轉(zhuǎn)動慣性大小的量,轉(zhuǎn)動慣量大,轉(zhuǎn)動慣性就大,表明保持原轉(zhuǎn)動特性的能力大。換言之,質(zhì)量m 是表征線位移上慣性大小的指標(biāo),而轉(zhuǎn)動慣量是表征角位移上慣性大小的指標(biāo)。實際上,描述剛體的轉(zhuǎn)動時,將描述質(zhì)點的質(zhì)量換成轉(zhuǎn)動慣量,將施加于質(zhì)點的集中力換成力偶,質(zhì)點動力學(xué)的大多數(shù)結(jié)論在剛體轉(zhuǎn)動中仍然成立。
在質(zhì)點動力學(xué)中,將剛體轉(zhuǎn)動的J、M、α 視為廣義的m、F、a,質(zhì)點動力學(xué)的許多結(jié)論可以適用于剛體轉(zhuǎn)動。例如質(zhì)點平衡與剛體轉(zhuǎn)動平衡,動量定理與動量矩定義,能量守恒定律,沖量定律等等。盡管剛體與質(zhì)點有這么多的相似,剛體力學(xué)的發(fā)展要晚質(zhì)點力學(xué)許多,牛頓作為經(jīng)典力學(xué)的奠基人仍不會求解剛體問題,到1760年(牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》成書于1687年)歐拉給出了歐拉角描述剛體的繞定點運動,到1765年發(fā)表《剛體運動理論》將剛體的運動分解為剛體上一點的運動與剛體繞該點的定點運動。但歐拉解決的是單個剛體的運動情況,對于由剛體組成的剛體系統(tǒng)問題則要借助1788年拉格朗日的《分析力學(xué)》,1834年哈密頓又將其推廣到了哈密頓力學(xué)(分析力學(xué)的另一種體系)。到20世紀,人們又開始關(guān)心運動的穩(wěn)定性問題,由此引發(fā)了非線性動力系統(tǒng)的非線性特征和系統(tǒng)控制理論研究,直到今天,仍然是動力學(xué)系統(tǒng)研究的熱點問題之一。
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